概述

指数分布是一种连续概率分布，常用于描述具有恒定速率的随机事件之间的时间间隔。例如，在放射性衰变中，原子衰变的时间间隔服从指数分布。

密度函数

指数分布的密度函数为：

f(x) = λe^(-λx)

其中：

• x 为随机变量，表示时间间隔
• λ 为速率参数，表示事件发生的平均速率

期望

指数分布的期望为：

E(X) = 1/λ

期望值表示事件发生之间的时间间隔的平均长度。

方差

指数分布的方差为：

Var(X) = 1/λ^2

方差表示事件发生之间的时间间隔的变异程度。

通俗易懂的解释

密度函数：

• 想象一条斜线，从 y 轴上的点 (0, λ) 向右下方延伸。
• 这条斜线表示密度函数。
• 对于任何给定的时间间隔 x，斜线上相应点的 y 值表示事件在该时间间隔内发生的概率。
• 随着时间间隔的增加，概率会随着指数衰减而减小。

期望：

• 期望值是事件发生之间的时间间隔的平均长度。
• 例如，如果原子每秒衰变一次 (λ = 1)，则平均衰变间隔为一秒。

方差：

• 方差表示时间间隔的变异程度。
• 例如，如果原子每秒衰变一次，则衰变间隔的方差为一秒。这意味着大多数衰变间隔接近一秒，但也会有一些较长或较短的间隔。

应用

指数分布广泛应用于各种领域，包括：

• 可靠性工程：预测设备或系统的故障时间
• 排队论：建模排队系统中等待时间
• 金融：分析股票价格和其他金融数据的波动性
• 生物学：研究细胞分裂、放射性衰变和死亡率

指数分布是一种重要的概率分布，用于描述具有恒定速率的随机事件之间的时间间隔。它的密度函数、期望和方差提供了有关事件发生频率和时间间隔变异程度的重要信息。指数分布在广泛的应用中发挥着至关重要的作用，从可靠性工程到生物学。