在概率论中，指数分布是一个连续概率分布，它描述了具有恒定失败率的事件之间的间隔时间。在许多实际应用中，指数分布都是一个非常有用的模型，例如，用于描述客户到达商店的时间或电子元件的故障时间。

期望值

期望值，又称为均值，是随机变量可能取值的加权平均值。对于服从指数分布的随机变量 x，其期望值计算如下：

E(x) = ∫₀^∞ x f(x) dx

其中，f(x) 是指数分布的概率密度函数，定义为：

f(x) = λ e^(-λx)

其中，λ 是指数分布的速率参数。

求解期望值

将概率密度函数代入期望值的积分表达式，得到：

E(x) = ∫₀^∞ x λ e^(-λx) dx

我们可以通过分部积分法来求解这个积分：

u = x, dv = λ e^(-λx) dx

du = dx, v = -e^(-λx)

代入分部积分公式：

∫₀^∞ x λ e^(-λx) dx = [-xe^(-λx)]₀^∞ + ∫₀^∞ e^(-λx) dx

第一个积分项在x趋于无穷大时为零，第二个积分项的解为：

∫₀^∞ e^(-λx) dx = [-e^(-λx)]₀^∞ = 1/λ

指数分布的期望值计算为：

E(x) = 1/λ

对于服从指数分布的随机变量 x，其期望值等于速率参数 λ 的倒数。这个结果表明，速率参数越小，期望值越大，这意味着事件之间的间隔时间越长。