指数分布是一种连续概率分布，它描述了随机事件之间的时间间隔。在许多实际应用中都有用到，例如等待时间、故障时间和放射性衰变。

期望

期望是随机变量的平均值。对于指数分布，期望值（μ）等于事件发生率（λ）的倒数。换句话说，期望值表示事件发生的平均时间间隔。

公式：E(X) = 1/λ

方差

方差是随机变量的离散程度的度量。对于指数分布，方差（σ^2）也等于事件发生率（λ）的倒数。这表明指数分布的方差与期望值相同。

公式：Var(X) = 1/λ

指数分布的性质

指数分布具有以下性质：

• 无记忆性：事件的未来发生概率不取决于过去发生的时间。
• 单调减少：随着时间的推移，事件发生的概率会指数级下降。
• 无下界：事件发生的时间可以从 0 开始。

应用

指数分布在许多领域都有应用，包括：

• 可靠性工程：预测设备故障的时间。
• 队列论：分析等待时间和服务率。
• 金融：建模股票价格和利率的波动。
• 生物统计学：分析存活时间和复发时间。

例子

假设我们正在研究一个每小时发生 2 次故障的机器。在这种情况下，事件发生率 (λ) 为 2 次/小时。

• 期望值：E(X) = 1/λ = 1/2 小时 = 30 分钟

这表示机器平均每 30 分钟发生一次故障。

• 方差：Var(X) = 1/λ = 1/2 小时 = 30 分钟

这表示机器故障的时间间隔的离散程度与期望值相同。

指数分布是一个重要的概率分布，它描述了随机事件之间的时间间隔。它的期望值和方差都等于事件发生率的倒数。指数分布在许多实际应用中都有用，包括可靠性工程、队列论、金融和生物统计学。