指数函数是数学中的一种重要函数，其定义为f(x) = e^x，其中e是自然对数的底数，约等于2.71828。指数函数在各个领域中都有广泛的应用，包括概率论与统计学中的期望计算。

期望是概率论中的一个重要概念，用来描述随机变量的平均值。对于离散型随机变量X，其期望可以表示为E(X) = ΣxP(X=x)，其中x表示随机变量X的取值，P(X=x)表示X取值为x的概率。对于连续型随机变量X，其期望可以表示为E(X) = ∫xf(x)dx，其中f(x)是X的概率密度函数。

在概率论与统计学中，指数分布是一种常见的概率分布，它具有许多重要的性质。指数分布的密度函数为f(x) = λe^(-λx)，其中λ是分布的参数。指数分布描述了一个随机事件发生的时间间隔，例如等待的时间、等待电话呼叫的时间等。

现在我们来推导一下指数分布的期望。根据期望的定义，我们有E(X) = ∫xf(x)dx = ∫xλe^(-λx)dx。我们可以通过分部积分的方法来求解这个积分，令u = x，dv = λe^(-λx)dx，那么du = dx，v = -e^(-λx)/λ。将这些代入积分式中，我们得到E(X) = ∫xλe^(-λx)dx = -xe^(-λx)/λ∣∣ - ∫-e^(-λx)/λdx。整理得到E(X) = (-xe^(-λx)/λ - (-e^(-λx)/λ^2))∣∣ = (-xe^(-λx) + e^(-λx)/λ)∣∣。再进行整理可得到E(X) = (1 - (1 + λx)e^(-λx))/λ∣∣。

根据指数函数的定义，我们知道e^(-λx)是一个小于1的正数，而(1 + λx)是大于1的正数。当x趋近于无穷大时，e^(-λx)趋近于0，(1 + λx)趋近于无穷大。因此，(1 - (1 + λx)e^(-λx))/λ趋近于1/λ。所以，指数分布的期望可以表示为E(X) = 1/λ。

指数函数的期望公式为E(X) = 1/λ，其中λ为指数分布的参数。这个公式告诉我们，在指数分布中，随机事件发生的平均时间间隔为1/λ。例如，如果某个事件的发生率为λ = 0.5，那么该事件的平均等待时间为2个时间单位。

指数函数的期望公式在实际问题中有着广泛的应用。例如，在生存分析中，研究人员常常使用指数分布来描述人们的生命长度。根据指数函数的期望公式，我们可以计算出人们的平均生命长度。在网络传输中，指数函数的期望公式可以帮助我们估计数据包到达目的地所需的平均时间。

综上所述，指数函数的期望公式为E(X) = 1/λ，它描述了指数分布中随机事件的平均时间间隔。这个公式在概率论与统计学中有着重要的意义，并在实际问题中得到了广泛的应用。通过对指数分布的期望的计算，我们可以更好地理解和分析随机事件的发生规律，为实际问题的解决提供帮助。